极限
函数极限的概念
函数在某点的极限
极限: $y=x+1$, x趋近于1,y趋近于2
例: $ \lim \limits_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1} $
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}$
极限存在定理:
左极限=右极限 $\Rightarrow$ 极限存在,右≠左 $\Rightarrow$ 极限不存在
$\begin{cases}
&\text{}x\to 1^+:右极限= \lim \limits_ {x\to 1^+}(x+1)=2 \\
&\text{}x\to 1^-:左极限= \lim \limits_ {x\to 1^-}(x+1)=2
\end{cases}$
例1:$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
x+1 & x>0 \\
e^{x} & x \leq 0
\end{array} \quad \text { 求 } \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)\right.$
$\begin{array}{l}
\text {右}\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x+1=1 . \\
\text {左}\lim\limits_{x \rightarrow 0^-} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} e^{x}=1 \\
\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=1
\end{array}$
函数在无穷远处的极限
$x\Rightarrow ∞\begin{cases} 右:$\lim\limits_{x\to+∞}arctanx=\frac{\pi}{2} $
&\text{}x\to +∞ 右极限:\lim \limits_{x \to +∞}f(x)=A \\
&\text{}x\to -∞ 左极限:\lim \limits_{x \to -∞}f(x)=B
\end{cases}$
判断方式如定理一样 当A=B的时候 极限存在 A≠B时极限不存在
例: $\lim \limits_{x\to∞}arctanx$ 解
左:$\lim\limits_{x\to-∞}arctanx=-\frac{\pi}{2} $
极限的四则运算
$limf(x)=A,limg(x)=B$
$1.lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)=A+B$
$2.lim(f(x))(g(x))=limf(x)·limg(x)=AB$
$3.lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{A}{B},B≠0$
$4.limfg(x)=klimf(x)=k·A$
什么时候区分左右极限
$1.e^x (x→∞)2.\frac{1}{x}(x→∞)3.arctanx(x→∞)$ 4.分段函数的分段点处5.绝对值函数
$\lim\limits_{x\to∞}e^x\begin{cases}
&\text{右:}\lim\limits_{x\to+∞}e^x=+∞ \\
&\text{左:}\lim\limits_{x\to-∞}e^x=0
\end{cases}\Rightarrow \lim\limits_{x\to∞}e^x不存在$
$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\begin{cases}
&\text{右:}\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}e^x=+∞ \\
&\text{左:}\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-∞
\end{cases}\Rightarrow \lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}不存在$
$函数f(x)=\begin{cases}
&\text{}x \quad x>0 \\
&\text{}cosx \quad x<0
\end{cases}$
求 $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$
$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\begin{cases}
&\text{右:}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}x=0 \\
&\text{左:}\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}cosx=1
\end{cases}\Rightarrow \lim\limits_{x\to0}f(x)不存在$
无穷大与无穷小
定义:
无穷小:
$\lim\limits{x\to x0}f(x)=0,当x\to x0时,f(x)为无穷小$
$x\to 0 , x=0$
无穷大：
$\lim\limits{x \to x0}f(x)=∞,当x\to x0时,f(x)为无穷大$
$x\to +∞,x\to -∞$
无穷大和无穷小的关系
$1.\frac{1}{无穷大}=无穷小,2.\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{无穷小}=无穷大$
无穷小的运算法则
$①有限个无穷小的和为无穷小②有限个无穷小的积为无穷小③有界量乘无穷小量为无穷小④\lim\limits_{x\to 0}x[-1,1]=0$
例 $\lim\limits_{x\to 0}xsinx\frac{1}{x}=0$
无穷小的比较
当 $limα(x)=0,limβ(x)=0$ 时
若 $lim\frac{α(x)}{β(x)}=0,则称α(x)是比β(x)高阶的无穷小$
若 $lim\frac{α(x)}{β(x)}=∞,则称α(x)是比β(x)低阶的无穷小$
若 $lim\frac{α(x)}{β^{kx}}=C≠0,k>0,则称α(x)与β(x)是k阶的无穷小$
若 $lim\frac{α(x)}{β(x)}=C(C≠0且C≠1),则称α(x)与β(x)是同阶的无穷小$
若 $lim\frac{α(x)}{β(x)}=1,则称α(x)与β(x)是等价的无穷小,记a(x)~β(x)$
常见等价无穷小
$1.x=sinx=arcsinx=tanx=arctanx$
$2.ln(1+x)=x,e^x-1=x,1-cos=\frac{1}{2}x^2$
$3.(1+ax)^b-1=abx(常见\sqrt{1+ax}-1=\frac{1}{2}ax)$
$4.a^x-1=xlna$
例1:$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sin4x}{tan2x}=\frac{4x}{2x}=2$
例2:$\lim\limits_{x\to 0}\frac{ln(1+2x)}{e^x-1}\frac{2x}{x}=2$
例3:$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{x^3}$
=$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sinx-sinx·cos}{x^3·cosx}$
=$\lim\limits_{x \to 0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^3·cosx}$
=$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\frac{1}{2}x^2}{x^3-cosx}$
=$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}}{cosx}=\frac{1}{2}$
注:
等价无穷小的等量代换只能用在乘除法中,不能用在加减法中
泰勒公式:
$loga^{(1+x)}=\frac{x}{lna}\quad x-sinx=\frac{1}{6}x^3\quad x-arcsinx=-\frac{1}{6}x^3$
$x-tanx=-\frac{1}{3}x^3 \quad x-arctanx=\frac{1}{3}x^3 \quad x-ln(1+x)=\frac{1}{2}x^2$
$e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3…(x^3)\quad (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+(x^2)$
极限计算类型
$\frac{∞}{∞}形$极限计算
解题方法:
$\begin{cases}
& \text{1.抓大头思想}\to 适用于小题\\
& \text{2.同除最高次} \to 适用于大题
& \text{3.洛必达法则}
\end{cases}$
例1:$\lim\limits_{x\to∞}\frac{x^3+x^2-1}{2x^3-x+2}$
抓大头
当X和分子分母趋近于无穷的时候,就可以使用抓大头思想,只看分子分母的最高次幂的系数。
例题解可得出: $\frac{x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$
同除最高次
同除最高次,找到方程内最高次幂进行整除
$\lim\limits_{x\to∞}\frac{x^3+x^2-1}{2x^3-x+2}$
$=\lim\limits_{x\to∞}\frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3}-\frac{x}{x^3}+\frac{2}{x^3}}$
$=\lim\limits_{x\to∞}\frac{1}{2}$
例2:
$\lim\limits_{x\to∞}\frac{3n^4+2n+1}{an^4+3n^2-4}=6$
抓大头
$分类讨论\begin{cases}
& \text{当} a=0 \\
& \text{当} a≠0
\end{cases}$
当 $a=0$ 时
$\lim\limits_{x\to∞}\frac{3n^4+2n+1}{+3n^2-4}$
$=\lim\limits_{x\to ∞}\frac{3n^4}{3n^2}=∞≠6,a=0不成立$
当 $a≠0 时$
$\lim\limits_{x\to∞}\frac{3n^4+2n+1}{+3n^2-4}$
$=\lim\limits_{x\to ∞}\frac{3n^4}{an^4}=\frac{3}{a}=6,a=\frac{1}{2}$
同除最高次
$\lim\limits_{x\to ∞}\frac{2+2\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}{a
+3\frac{1}{n^2}-\frac{4}{n^4}}=\frac{3}{a}=6,a=\frac{1}{2} $
$0^0$形极限计算
方法:公式法:$u^v$$\begin{cases}
& \text{}0^0 ,u\to 0,v\to0 \\
& \text{}∞^0,u\to ∞,v\to ∞
\end{cases}$
$u^v=e^{v·lnu}$
例1:$\lim\limits_{x\to0}(e^x-1)^{tanx}$
$0·∞形$极限计算
0·∞计算思路:简单因子下放,转化为 $\frac{0}{0}和\frac{∞}{∞}$ $\lim\limits_{x\to∞}xsin\frac{\pi}{x},x为简单因子,下放得出\lim\limits_{x\to∞}\frac{sinx\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{x}}x\to∞,\frac{\pi}{x}\to0$
$\begin{cases}
& \text{1.}\frac{∞}{\frac{1}{0}}(\frac{∞}{∞})\\
& \text{2.}\frac{0}{\frac{1}{∞}} (\frac{0}{0})
\end{cases}$
例1: $\lim\limits_{x\to∞}xsin\frac{\pi}{x}(∞·0形状)$ 解
$所以等价sinx=x得出\lim\limits_{x\to∞}\frac{\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{x}}=\pi$
$∞-∞形$极限计算
解题方法:
$\begin{cases}
& \text{1.}有分母就同分 \\
& \text{2.}无分母有理化
\end{cases}$
例1:$\lim\limits_{x\to∞}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}$
解1
$\lim\limits_{x\to∞}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}$
$=\lim\limits_{x\to∞}\frac{(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x})(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2-x})}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}$
$=\lim\limits_{x\to∞}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}},式子变成\frac{∞}{∞}形,用抓大头的思想得出$
$=\lim\limits_{x\to∞}\frac{2x}{2x}=1$
解2
运用倒代换的思想令
$x=\frac{1}{t},t=\frac{1}{x},x\to∞ t\to∞$
$\lim\limits_{t\to0}\sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}}$
$=\lim\limits_{t\to0}{\sqrt{\frac{1+t}{t^2}}-\sqrt{\frac{1-t}{t^2}}}$
$=\lim\limits_{t\to0}\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t}$
$=\lim\limits_{t\to0}\frac{(\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t})(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t})}{t(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t})}$
$=\lim\limits_{t\to0}\frac{2t}{2t}=1$
$1^∞形$极限计算
解题方法:
$\begin{cases}
& \text{1.}第二重要极限 \\
& \text{2.}公式法 \\
& \text{} 1^∞;u^v(u\to1,v\to∞) \\
& \text{} \lim\limits_{x\to·}u^v=\lim\limits_{x\to·}e^{(u-1)·v}(前提是必须满足1^∞形)
\end{cases}$
第二重要极限:
$\begin{cases}
& \text{} \lim\limits_{\Box \to 0}(1+\Box )^{\frac{1}{\Box }} =e \\
& \text{} \lim\limits_{\Box \to ∞}(1+\Box )^\Box =e
\end{cases}$
公式法例题:$\lim\limits_{x\to∞}(\frac{x+1}{x-1})^x;u=\frac{x+1}{x-1},v=x$
$=\lim\limits_{x\to∞}e^{\frac{2x}{x-1}}=e^2$
例1:$\lim\limits_{x\to0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$
公式法
$\lim\limits_{x\to0}(1-x)^{\frac{1}{x},u=1-x,v=\frac{1}{x}}$
$=\lim\limits_{x\to0}e^{(u-1)·v}$
$=\lim\limits_{x\to0}e^{-x·\frac{1}{x}}$
第二重要极限
za
$\lim\limits_{x\to0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$
$=\lim\limits_{x\to0}[1+(-x)]^\frac{1}{x}$
$=\lim\limits_{x\to0}[1+(-x)]^{\frac{1}{-x}·(-x)·\frac{1}{x}}$
$=\lim\limits_{x\to0}e^{-x·\frac{1}{x}}=e^{-1}$
两个重要极限
(1)第一重要极限:
$\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$
(2)第二重要极限:
形式一: $ \lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e ;$
形式二: $\lim\limits_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e $
极限计算总结:
七种未定式:
$\frac{0}{0}\begin{cases}
& \text{ 1.} 恒等变形 \\
& \text{ 2.} 等价 \\
& \text{ 3.} 洛必达
\end{cases}$ $\frac{∞}{∞}\begin{cases}
& \text{1.} 恒等变形 \\
& \text{2.} \begin{cases}
& \text{1.} 恒等变形(小题) \\
& \text{2.} 同除最高次(大题)
\end{cases} \\
& \text{3.}洛必达
\end{cases}$
$0·∞$ 方法:简单因子下放
$\begin{cases}
& \text{0·∞(0为简单因子)} \to\frac{∞}{\frac{1}{0}}\to \frac{∞}{∞} \\
& \text{0·∞(∞为简单因子)} \to \frac{0}{\frac{1}{∞}}\to \frac{0}{0}
\end{cases} $
$∞-∞$:方法
$\begin{cases}
& \text{1.}有分母\to通分 \\ \
& \text{2.}无分母\to有理化
\end{cases} \to \frac{∞}{∞} $
$1^∞$:$\begin{cases}
& \text{1.}公式法:1^∞;u^v(u\to1,v\to∞)\\ \
& \text{2.}第二重要极限
\end{cases}$
$0^0,∞^0$:公式法:$u^v=e^{v·lnu}$
夹逼定理
定义:$g(x)≤f(x)≤h(x)$,若对其同时取极限,满足$\lim \limits_{x \rightarrow \cdot} g(x) \leq \lim \limits_{x \rightarrow \cdot} f(x) \leq \lim \limits_{x \rightarrow \cdot} h(x)$
$\lim \limits_{x \rightarrow \cdot} g(x)=A,\lim \limits_{x \rightarrow \cdot} h(x)=A$ ,那么就可以得出$\lim \limits_{x \rightarrow \cdot} f(x)=A$
例1:$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$(常见不等式)
方法：将次要部分进行改变
令$\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)=f(x)$
$g(x)=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}$除了最后的分式其他全部变小,所以g(x)<f(x)
$h(x)=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\cdots \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}$n个$\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$相加,大于f(x)
$\lim\limits_{n\to∞}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$和$\lim\limits_{n\to∞}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$抓大头得出等于1;
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} g(x) \leq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(x) \leq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} h(x)$已知g(x)和h(x)等于1,所以f(x)=1
连续
定义:当极限存在,左极限和右极限等于函数值的时候,就说是连续的
例:$\lim\limits _{x \to 0^+}f(x)=1,\lim\limits{x\to0^-}=1,f(0)=1$函数是连续的
例 1:$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\ln (1+x)}{x} & x>0 \\
e^{-x} & x \leq 0
\end{array}\right.$$f(x)$在$x=0$处是否连续?
1.右:$\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x+1=1 $
2.左:$\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} e^{x}=1$
函数值:$\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$
左右极限相等且等于函数值,当x=0,f(x)是连续的
间断
一.$\begin{cases}
& \text{1.} 右极限≠左极限\to 跳跃间断点\\
& \text{2.} 右极限=左极限≠函数值 \to 可去间断点\\
\end{cases}$
二.$\begin{cases}
& \text{1.} 右极限或左极限其一为∞\to 无穷间断点\\
& \text{2.} 右极限和左极限震荡 \to 震荡间断点\\
\end{cases}$
方法:
1.寻找可疑点$\begin{cases}
& \text{1.} 无定义点(分母=0的时候,一定是间断的)\\
& \text{2.} 分段函数分段点\\
\end{cases}$
2.计算左右极限和函数值在于定义进行判断
例1: 讨论函数 $ f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}$的间断类型
1.寻找可疑点,当x=0的时候,分母为无定义点$x^2-x-2=0$
运用因式分解$(x-2)(x+1)=0$得出$x=2$和$x=-1$两个点
当x=2的时候 右:$\lim\limits_{x\to2+}\frac{x^2-1}{x^2-x-2}=\lim\limits_{x\to2+}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\lim\limits_{x\to2+}\frac{x-1}{x-2}=∞(分子=1，分母趋近于∞)f(x)$为无穷间断点
当x=-1的时候 右:$\lim\limits_{x\to-1^+}\frac{x^2-1}{x^2-x-2}=\lim\limits_{x\to-1^+}\frac{x-1}{x-2}=\frac{2}{3}$左:$\lim\limits_{x\to-1^-}\frac{x^2-1}{x^2-x-2}=\lim\limits_{x\to-1^-}\frac{x-1}{x-2}=\frac{2}{3}$
函数值$f(-1)不存在$,右极限=左极限≠函数 为可去间断点
得出$\begin{cases}
& \text{} x=2 无穷间断点\\
& \text{} x=-1 可去间断点
\end{cases}$
洛必达法则
当 $lim\frac{f(x)}{g(x)}满足$ “$\frac{0}{0}$” 形和”$\frac{∞}{∞}$”形时 $\lim\limits_{x\to0}xlnx|ln’x=\frac{1}{x},\frac{1}{x}’=-\frac{1}{x^2}$
$lim\frac{f(x)}{g(x)}=lim\frac{f(x)’}{g(x)’},如果1阶导之后还是等于\frac{0}{0}或\frac{∞}{∞}时,继续求二阶导\frac{f(x)’’}{g(x)’’}以此类推$
注:1.分子,分母分别求导2.能等价先等价,不能再洛
例1:$\lim\limits_{x\to0}xlnx$
$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$
$=\lim\limits_{x\to0}-x=0$
