$例 1: \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+5 x}-\sqrt{1-3 x}}{x^{2}+2 x} $

$例 2: \lim \limits_{x \rightarrow 0}[1+\ln (1+x)]^{\frac{2}{x}} $
$例 3: \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(x \sin \frac{1}{x}+\frac{1}{x} \sin x\right) $
$例 4: \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{-k x}=e^{-2} , 求 k 的值$
$例 5: \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 b}{x-b}\right)^{x}=8 , 求 \mathrm{b} 的值$

例6:$\lim\limits_{x\to∞}\frac{({x+6})^4(x^3+3)}{(2x+2)^3(x^2+1)^2}$

例7: $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^{\sin x}}{x e^{x^{2}}-x} $
例8:$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{x} x-x^{x}}{1-e^{x^{3}}} $

例11:$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\ln (1+x)}{x} & x>0 \\
e^{-x} & x \leq 0
\end{array} \quad \text { 求 } \lim \limits _{x \rightarrow 0} f(x)\right.$